Fra eksponentiel til lineær sammenhæng

Hvis vi har et datasæt af talpar (x, y), der passer til en lineær model, kan vi få dette bekræftet ved at afbilde punkterne i et almindeligt koordinatsystem. Vi får nemlig en ret linje. Anderledes forholder det sig med et datasæt, der passer til en eksponentiel model. Her vil punkterne følge en krum kurve, men det kan være svært at se, om denne har den rette form - der kunne jo lige så godt være tale om en anden funktionsgraf med buet udseende. Vores hjerner er simpelthen ikke i stand til at skelne eksponentielle kurver fra andre kurver, der buer.

For at afhjælpe dette problem kan man i stedet for betragte punkterne (x, \log(y)). Det viser sig nemlig, at disse punkter vil følge en ret linje, når y afhænger eksponentielt af x. Dette kan vi bevise ved at omskrive ligningen for en eksponentiel sammenhæng, y = b· ax, ved hjælp af logaritmer. Omskrivningen forløber således:

\begin{aligned}y&=b\cdot a^x \quad &&\Leftrightarrow\\ \log(y)&=\log(b \cdot (a^x)) \quad &&\Leftrightarrow\quad \text{$\log$ benyttes}\\ \log(y)&=\log(b)+\log(a^x)\quad &&\Leftrightarrow\quad \text{regneregel 1 for $\log$}\\ \log(y)&=\log(b)+x\cdot \log(a)\quad &&\Leftrightarrow\quad \text{regneregel 3 for $\log$}\end{aligned}

Bemærk, at der på højre side nu står et lineært udtryk i x. \log(a) og \log(b) er jo blot konstanter. \log(y) er altså en lineær funktion af x.

Omskrivningen viser følgende:

Du skal logge ind for at skrive en note

Sætning: Transformation af eksponentiel funktion

y er en eksponentiel funktion af x, hvis og kun hvis \log(y) er en lineær funktion af x.

Du skal logge ind for at skrive en note

I nedenstående interaktivitet kan du undersøge den grafiske betydning af denne sætning nærmere.

Du skal logge ind for at skrive en note

Interaktivitet - Skift mellem koordinatsystemer for eksponentiel sammenhæng

Du skal logge ind for at skrive en note
Du skal logge ind for at skrive en note

Fra potenssammenhæng til lineær sammenhæng

Vi kan på samme måde som ovenfor omskrive ligningen for potenssammenhængen

y=b \cdot x^a

Omskrivningen forløber således:

\begin{aligned}y&=b\cdot x^a \quad &&\Leftrightarrow\\ \log(y)&=\log(b \cdot (x^a)) \quad &&\Leftrightarrow\quad \text{$\log$ benyttes}\\ \log(y)&=\log(b)+\log(x^a)\quad &&\Leftrightarrow\quad \text{regneregel 1 for $\log$}\\ \log(y)&=\log(b)+a\cdot \log(x)\quad &&\Leftrightarrow\quad \text{regneregel 3 for $\log$}\end{aligned}

I dette tilfælde er \log(y) en lineær funktion af \log(x). a og \log(b) er jo bare konstanter.

Omskrivningen viser følgende:

Du skal logge ind for at skrive en note

Sætning: Transformation af potensfunktion

y er en potensfunktion af x, hvis og kun hvis \log(y) er en lineær funktion af \log(x).

Du skal logge ind for at skrive en note

I nedenstående interaktivitet kan du undersøge den grafiske betydning af denne sætning nærmere.

Du skal logge ind for at skrive en note

Interaktivitet - Skift mellem koordinatsystemer for potenssammenhæng

Du skal logge ind for at skrive en note
Du skal logge ind for at skrive en note

Opgave 9

Du skal logge ind for at skrive en note
ISBN: 9788761653727. Copyright forfatterne og Systime A/S 2018