Differentialregning er et stærkt værktøj til at optimere løsningen til mange forskellige problemstillinger. Det skal vi se eksempler på her.

Note
Du skal logge ind for at skrive en note.

Eksempel 8 - Optimering af kasses overfladeareal

Vi skal designe en beholder med et rumfang på 0,5 liter, svarende til 500 cm3. Beholderen skal have kvadratisk bund og ellers have formen som vist på skitsen. Der skal ikke være låg på beholderen. Spørgsmålet er, hvilke mål beholderen skal have, for at materialeforbruget bliver mindst mulig.

Først finder vi det samlede overfladeareal O:

O= \underbrace{a^2}_{ \text{areal bund}} + \underbrace{4 a h}_{ \text{samlet areal sider}}

Da det samlede volumen er 500 cm3, er

500=a^2 \cdot h

Ved at isolere h i denne ligning fås, at h=\frac{500}{a^2}. Vi kan nu udtrykke overfladearealet som funktion af længden a:

O(a)=a^2+4a\cdot \frac{500}{a^2} = a^2 + \frac{2000}{a}

I følgende interaktivitet er grafen for funktionen tegnet. Ved at flytte på punktet P kan kassens form ændres. Undersøg, i det viste grafvindue, hvilken værdi af a, der giver det mindste overfladeareal.

Note
Du skal logge ind for at skrive en note.

Interaktivitet - Optimering af kassens overfladeareal

Note
Du skal logge ind for at skrive en note.

Da grafvinduet er begrænset, er det ikke nok blot at se på grafen for at bestemme den værdi af a, der giver det mindste overfladeareal. Vi vil derfor beregne, hvilke steder der kunne være minimum for funktionen:

O(a)=a^2 + \frac{2000}{a}

Vi finder først O '(a):

O'(a)=2a- \frac{2000}{a^2}

Vi løser nu ligningen O '(a) = 0:

2a- \frac{2000}{a^2} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad 2a= \frac{2000}{a^2}

\Leftrightarrow \quad a^3=\frac{2000}{2} \quad \Leftrightarrow \quad a=\sqrt[3]{1000} =10

Dvs. funktionen O(a), kan have et minimum, et maksimum eller ingen af delene i a = 10. Ud fra grafen kan vi se, at der er tale om et minimum og da det er det eneste sted, hvor O '(a) = 0, må det være et globalt minimum.

Note
Du skal logge ind for at skrive en note.

Det mindste overfladeareal fås derfor, hvis bunden har sidelængden a = 10 cm.

Det samlede overfladeareal bliver da:

O(10) = 10^2 + \frac{2000}{10} = 300 \text{ cm}^2

Vi kan finde højden ved at bruge den tidligere fundne sammenhæng:

h=\frac{500}{a^2}=\frac{500}{10^2} = 5

Det mindste overfladeareal fås altså, hvis kassen er 5 cm høj og har sidelængden 10 cm.

Note
Du skal logge ind for at skrive en note.

Eksempel 9 - Størst mulig fortjeneste

Colourbox.com
Colourbox.com

I et sommerland gælder, at antallet af gæster pr. sæson g(x) med god tilnærmelse afhænger af billetprisen x på følgende måde:

g(x)=-0,008 x^3+500.000 \quad \quad 0 \leq x \leq 390

Da omsætningen O(x) er lig med antallet af gæster gange billetprisen, er

O(x)=g(x) \cdot x = -0,008 x^4+500.000x

Udgifterne til at drive sommerlandet afhænger af antallet af gæster. Udgifterne beregnes til 125 kr. pr. gæst. Da g(x) angiver antallet af gæster, må udgifterne U(x) være givet ved:

U(x)=125 \cdot g(x) = - x^3 + 62.500.000

Fortjenesten er lig omsætning minus udgifter, dvs. fortjenesten F(x) er:

F(x)=O(x)-U(x)= -0,008 x^4 + 500.000x - (-x^3 + 62.500.000)

Vi ønsker at finde den billetpris, der giver den størst mulige fortjeneste. Vi vælger at gøre det ved hjælp af CAS:

Note
Du skal logge ind for at skrive en note.
Note
Du skal logge ind for at skrive en note.

Øvelser: 26 - 28

Øvelse 26 - Monotoniforhold

Colourbox.com
Colourbox.com

For et firma gælder, at den månedlige fortjeneste på produktionen af en bestemt vare er givet ved:

f(x)=-\frac{1}{400}x^4 + 10x \quad \quad 0 \leq x \leq 18

hvor f(x) er den månedlige fortjeneste i tusinde kroner, og x er salgsprisen pr. styk i kr.

  • Bestem ved hjælp af differentialregning den salgspris, der giver den største månedlige fortjeneste.

  • Hvor stor er den størst mulige månedlige fortjeneste?

Øvelse 27 - Monotoniforhold

For en trekant gælder som bekendt følgende sammenhæng mellem arealet A, højden h og grundlinjen g:

A=\frac{1}{2}hg

Vi ser nu på en retvinklet trekant, hvor h og g kan betragtes som kateternes længder.

  • Bestem de værdier af h og g, der giver det størst mulige areal, når kateternes længde tilsammen er 5.

Øvelse 28 - Monotoniforhold

Colourbox.com
Colourbox.com

Vi ønsker at bygge en sandkasse af træ, der skal stå op ad en husmur og have form som et rektangel. De 3 synlige sider af sandkassen koster 200 kr. at bygge pr. meter. Den sidste side er ind mod husmuren. Derfor vælger vi til denne side at bruge noget billigere træ, der koster 50 kr. pr. meter.

Sandkassen skal have et areal på i alt 6 m2.

  1. Bestem sandkassens sidelængder, således at den bliver så billig som mulig.

  2. Hvad koster det at bygge den billigste sandkasse?

Note
Du skal logge ind for at skrive en note.

Opgaver 11 - 12

Opgave 11

Colourbox.com
Colourbox.com

Et smykkeskrin skal have form som en aflang kasse uden låg. Smykkeskrinet skal være tre gange så langt, som det er bredt, og det skal have et rumfang på 800 cm3

  • Hvilke dimensioner skal smykkeskrinet have, for at overfladearealet bliver mindst muligt?

Opgave 12

En lang metalplade skal bukkes til en speciel tagrende, som skal sidde på et ældre fredet hus. Tagrenden skal nederst bestå af to halvcirkler og på siden af to lige sider. Tagrendens tværsnit ses på skitsen. Pladens bredde er 50 cm, hvilket på skitsen betyder, at den sorte streg er 50 cm lang.

  • Bestem ved hjælp af differentialregning størrelserne x og r således, at tagrendens tværsnitsareal bliver størst muligt.
Note
Du skal logge ind for at skrive en note.